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Sistemi LTI

1) Sistema Lineare :

Un sistema lineare è tale che una combinazione lineare di ingressi  produce in uscita dal sistema una combinazione lineare delle corrispondenti uscite .

 

2) Sistema Tempo Invariante :

E' un sistema per il quale la risposta ad   è  per qualsiasi valore di c.

 

3) Sistema LTI e relativa caratterizzazione :

Un sistema LTI è Lineare Tempo Invariante e può essere completamente caratterizzato mediante la sua risposta al gradino q(t) ossia ad un segnale     , questo in quanto un generico ingresso può essere espresso come una somma di gradini relativi agli istanti anteriori ciascuno pesato per l'incremento dell'ingresso x(t) al generico istante tk ossia nella forma .

 

4) Sistema causale :

E' un sistema per il quale l'effetto è sempre successivo alla causa che lo ha generato, per un sistema LTI la risposta al gradino q(t) deve esser nulla per  .

 

5) Risposta di un sistema LTI ad un generico ingresso :

E' data dall'integrale di convoluzione tra la risposta impulsiva e l'ingresso al sistema LTI

 

6) Risposta impulsiva :

Supponendo che il gradino che si ha in ingresso possa essere derivabile, si ha che la derivata della risposta al gradino è la risposta impulsiva  la quale non ha senso per un sistema reale in quanto illimitata.

 

7) Risposta impulsiva nel caso tempo - discreto :

L'impulso tempo - discreto  è  pertanto la risposta all'impulso tempo - discreto è  .

 

8) Risposta di un sistema LTI tempo - discreto :

9) Risposta in frequenza di un sistema LTI tempo - continuo :

10) Risposta in frequenza di un sistema LTI tempo - discreto :

11) Risposta in frequenza di un sistema LTI tempo - discreto espressa in termini di trasformata Z :

12) Sistema stabile :

Si tratta di un sistema per il quale ad ogni ingresso limitato corrisponde una uscita limitata, per un sistema LTI ciò è verificato se e soltanto se :