Teoremi sui limiti

Limiti di funzioni

1) Unicità del limite :

Descrizione :         se        e                     Þ           l₁ = l₂

se fosse l₁ ¹ l₂ dovrebbero esistere un intorno di l₁ ed un intorno di l₂ tra loro distinti ai quali dovrebbero corrispondere 2 intorni distinti di x₀ cosa che invece non può accadere visto che l´intersezione di 2 intorni di x₀ è ancora un intorno di x₀ e conterrà almeno un punto di x ¹ x₀ in quanto x₀ è un punto di accumulazione (quindi ogni intorno di x₀ contiene almeno un punto del dominio X diverso da x₀). In definitiva quindi l´intersezione di 2 intorni è non vuota contro l´ipotesi fatta.

 

2) Teorema della permanenza del segno :

Descrizione :         se     allora f(x) > 0 definitivamente per x ® x₀  dove il termine definitivamente                                 indica che la proprietà è valida per ogni x appartenente ad almeno un intorno di x₀ con x ¹ x₀ .

Se 0 < l < +¥    allora scegliendo e = l si fa in modo che l´intorno V di l sia (0 , 2l) e per questo intorno avremo un intorno di x₀ nel quale la funzione è compresa tra 0 e 2l.

Occhio         :         Il fatto che una funzione sia > 0 non implica che lo sia anche il suo limite, ad esempio x² è                                                definitivamente maggiore di 0 per x®0 (il definitivamente esclude il punto x₀ = 0 dove x² = 0) però                

Miglioria dim.    :  Se 0 < l < +¥    allora scegliendo e = l - m  si fa in modo che l´intorno V di l sia (m , 2l - m) e quindi si                                può estendere il teorema dicendo che esso è valido per ogni 0 < m. < l , ossia non esiste un solo intorno                              ma ne esiste uno per ogni m  scelto tra 0 ed l.

 

3) Rapporto tra l´esistenza di un limite finito e la limitatezza della funzione :

Descrizione :         Se per una funzione esiste un limite finito per x®x₀ Þ la funzione è definitivamente limitata per x®x₀

                               ma non è detto che se la funzione è limitata allora ammette un limite finito, ad esempio sgnx è una                  funzione limitata ma non esiste il limite per x ® 0.

 

4) Teorema del confronto :

Descrizione :         Se ho 2 funzioni f(x) e h(x) aventi lo stesso limite l per x ® x₀ ed una terza funzione g(x) è                                 definitivamente compresa tra h(x) e f(x) per x ® x₀ allora anche g(x) tende allo stesso limite l.

Per ogni intorno V di l  dovrà esistere un intorno U₁ di x₀ per il quale f(x) Î V ed un intorno U₂ di x₀ per il quale h(x)ÎV , ebbene per ogni x appartenente alla intersezione di questi 2 intorni si avrà che sia f(x) che h(x) apparterranno a V e pertanto anche la g(x) che è tra esse compresa.

Esempio     :          calcolo del limite di sinx / x.

5) Quanto vale il limite del prodotto tra f(x) avente limite l₁ e g(x) avente limite l₂ ?

Descrizione :         f(x)*g(x)  ha come limite l₁*l₂ .

Affinchè sia vera deve essere | f(x)*g(x) - l₁*l₂ | < e il che si ottiene a partire dalla espressione f(x)g(x) con le seguenti :

1) Si scrive f(x)g(x) - l₁l₂ = f(x)g(x) - l₁l₂

2) Si aggiunge e toglie al 2° membro l₁*g(x) .

3) Raccogliendo si giunge alla forma f(x)*g(x) - l₁*l₂ = g(x)*( f(x) - l₁ ) + l₁*( g(x) - l₂ )

4) Si osserva che entrambe i termini tra parentesi per definizione di limite sono minori di e e che g(x) possedendo un                 limite finito è una funzione limitata pertanto è |g(x)| < M per x ® x₀ . La disuguaglianza si riduce pertanto alla forma  | f(x)*g(x) - l₁*l₂ | < Me + l₁*e   che data la arbitrarietà di e conferma la assunto.

 

6) Quanto vale il limite della funzione1/g(x) avente limite l₁ > 0 ?

Descrizione :         1 / g(x)  ha come limite 1 / l₁ .

Affinchè sia vera deve essere | 1/g(x) - 1/ l₁ | < e il che si ottiene a partire dalla | 1/g(x) - 1/ l₁ | effettuando il minimo comun denominatore che restituisce  il numeratore del 2° membro risulta minore di e per definizione di limite mentre al denominatore, in virtù del teorema della permanenza del segno, sappiamo che, avendo g(x) limite positivo, è sicuramente g(x)> m > 0 per x®x₀ quindi possiamo scrivere   in quanto il denominatore non può annullarsi e quindi tramite e possiamo rendere piccola quanto vogliamo la differenza tra il limite e la funzione.

 

7) Sotto quali condizioni è possibile calcolare il limite di una funzione composta ?

Descrizione :         Se  ed f(x) ¹ l definitivamente per x®x₀  e

                               se   allora si ha che

Si dimostra a ritroso affermando che esiste un intorno W di k per il quale esiste un intorno V di l i cui elementi y sono tali che g(y) è compreso in W. Si compie poi un altro passo a ritroso allo scopo di trovare un intorno di x₀ composto da x tali che f(x) ha valori su tutto V ad eccezione di l, tale intorno si trova quale intersezione tra l´intorno U₁ di x₀ composto da x tali che f(x) Î V e l´intorno U₂ di x₀ composto da tutte le x per le quali f(x) ¹ l .

 

8) Considerazioni sui limiti delle funzioni monotone :

Descrizione :         Una funzione monotona ammette sempre il limite ed in particolare esso coincide con il Sup f(x) se la funzione è crescente e noi consideriamo un intorno sinistro di x₀ , mentre coincide con l´ Inf f(x) se la funzione è crescente e noi consideriamo un intorno destro di x₀.

Dimostrare che se x è crescente allora il limite è il Sup se consideriamo un intorno sinistro di x₀ significa considerare entrambe i casi possibili, ossia definendo Sup f := l  si ha :

a) l Î Â

Per definizione di estremo superiore si ha :

*       f(x) £ l     " x compresa tra -¥ ed x_o

*       Per ogni e > 0 esiste un x_e tale che f(x)+e > l e quindi l non è più estremo superiore

Essendo la funzione crescente avremo evidentemente che " x compresa tra x_e ed x₀ si ha che l-e < f(x) £ l ossia l è il limite di f per x che tende ad x₀  .

b) l = + ¥

La f in questo caso non è limitata superiormente quindi dovremo prendere come riferimento un valore M della funzione e dire che per le x a destra della x_M associata al punto M dato che la funzione è crescente si ha che f(x) > M e dunque il limite è +¥ . Se la funzione non fosse stata crescente nulla avremmo potuto dire.

Limiti di successioni a valori in Â

9) Una successione convergente è limitata.

Dato che una successione non è che una particolare funzione, segue che per essa vale il teorema 29) secondo il quale se per una funzione esiste un limite finito per x®x₀ Þ la funzione è definitivamente limitata per x®x₀ si avrà pertanto che per gli n maggiori di un certo N, | a_n | £ M₀ che si comporta da estremo superiore mentre per le n comprese tra 0 ed N dovrà esistere un massimo M₁ per | a_n | in quanto essi rappresentano un sottoinsieme finito di Â. In definitiva dunque la successione a_n è limitata dal massimo tra M₀ ed M₁ .

10) Una successione monotona e limitata è convergente.

 

11) Teorema ponte tra i limiti di funzioni ed i limiti di successioni :

Descrizione :  Û  " successione a_n  a valori in X \ {x₀}e convergente a x₀

Þ           Dovendo valere il 1° membro allora preso un e >0 esisterà un d > 0 tale che per ogni x che disti da x₀

                0<|x - x₀| < d si ha che | f(x)-l |< e  e dato che la successione a_n converge ad x₀ , allora esisterà un valore N tale               che " n > N si ha che | a_n - x₀ | < d  e pertanto si avrà che | f(a_n) - l | < e per ogni n > N.

Ü           Si procede negando il 1° membro ed ottenendo che anche il 2° membro è falso, in particolare la negazione   afferma che $ un e tale che per ogni d > 0 esiste x_d Î X tale che 0 < | x_d - x₀ | < d   e  | f(x_d) - l | ³ e . A questo               punto si fa tendere progressivamente d a 0 ad esempio dandogli i valori 1, 1/2, 1/3, ... , 1/n e per ogni d si rileva              il valore x_d per il quale | f(x) - l | ³ e . Abbiamo in definitiva creato una successione che tende ad x₀ ma la cui            immagine non tende ad l il tutto come conseguenza della ipotesi assurda iniziale che  .

12) Dimostrare che    "    aΠ , a > 1

Sfruttando il teorema ponte possiamo invece dimostrare che " successione b_n ® +¥   si ha che   . Infatti :

l´ultimo termine si riduce a 0 * a = 0 in virtù del  e dunque è dimostrato che .

Per dimostrare che  occorre riportarlo alla forma  che dimostreremo essere ugule a 0 per n ® +¥ , ciò si ottiene raccogliendo come potenza 2a         . Per dimostrare infine che ® 0   per  x ®+¥ si pone h = a - 1 e si disuguaglia tramite Bernoulli poi dal teorema del confronto si desume che ® 0 per x® +¥.

Proprio la aver utilizzato questa disuguaglianza che prevede n Î À ci ha costretto ad utilizzare [b_n ] + 1 .

 

13) Dimostrare che e è il Sup della successione   naturalmente per n ® +¥  con n Î À \ {0}.

Occorre dimostrare che la successione a_n è convergente, il che avviene per ogni successione monotona e limitata, dimostreremo quindi che a_n è crescente e limitata.

a_n è crescente       Þ Si dimostra verificando che il rapporto a_n / a_{n -1} è maggiore di 1 il che si ottiene riportando il                                                       numeratore ad una forma del tipo (1 + h)ⁿ e quindi disuguagliando tramite Bernoulli . Il                                                    risultato ottenuto è valido solo per n ³ 2 in quanto per n = 1 si giunge all´errore logico 0¹ .

a_n è limitata           Þ Si dimostra analogamente su di una successione  e                                           verificando che il rapporto b_n / b_{n -1} è minore di 1 il che si ottiene riportando il numeratore ad una                        forma del tipo (1 + h)ⁿ e quindi disuguagliando tramite Bernoulli .

Si può pertanto affermare che a_n è compresa tra 0 e b_n la quale del resto tende allo stesso limite infatti si ha che se           Þ       

Dando un valore ad n si ha un intervallo dato dai valori assunti da a_n e da b_n nel quale è compreso e .

14) Dimostrare che è anche   quindi non solo per n Î À\{0}

15) Una successione limitata a valori in  ha una sottosuccessione convergente.

Si possono verificare 2 casi :

a)            un elemento a compare infinite volte e pertanto la sottosuccessione b_n converge ad a

b)            L´immagine della successione è un insieme infinito (in quanto la successione contiene infiniti valori diversi) e           limitato (in quanto la successione è limitata) pertanto per il teorema di Bolzano-Weierstass ammette almeno un              punto di accumulazione l Î Â. Ogni intorno di l contiene infiniti valori della successione pertanto si può creare                una sottosuccessione che tende ad l, in particolare siano gli intorni che per n®+¥  U_n®l

                la sottosuccessione si ricava scegliendo " nÎÀ quale elemento della successione a_n rientra in U_n , in tal modo si     crea una sottosuccessione convergente a partire da una successione che potrebbe non esserlo.

 

16) Una successione fondamentale è limitata.

Una successione è fondamentale se " e >0  esiste un N Î À tale che presi 2 qualsiasi elementi n ed m maggiori di N nel dominio À della successione si ha che | a_n - a_m | < e. Per dimostrare che tale successione è limitata occorre tener conto che per gli n compresi tra 0 ed N esiste un massimo M₀ per i valori assunti da a_n in quanto essi costituiscono un sottoinsieme finito di Âⁿ. Per gli n ³ N invece si può maggiorare |a_n | tramite Cauchy-Schwarz infatti si ha

|a_n| = | (a_n - a_N) + a_N |  £ | (a_n - a_N) | + | a_N |  quindi scegliendo m = N ed arbitrariamente ponendo e = 1 si ottiene che per ogni n ³ N si ha che  |a_n | £ 1 + |a_N| = M₁ , in definitiva dunque a_n è limitata dal massimo tra M₀ ed M₁ .

 

17) Criterio di Cauchy.

Descrizione :         Una successione a valori reali è convergente Û è fondamentale

Þ           Dimostrare che una successione è fondamentale significa dimostrare che " e >0  esiste un N Î À tale che presi        2 qualsiasi elementi n ed m maggiori di N nel dominio À della successione si ha che | a_n - a_m | < e. Per far ciò si                aggiunge e sottrae l all´interno del modulo e si disuguaglia tramite Cauchy-Schwarz ottenendo che :

                | a_n - a_m | £ | a_n - l | + | a_m - l |  < e infatti dalla convergenza della successione ossia segue che           dato un e >0 esisterà un N oltre il quale | a_n - l | < e / 2 e sostituendo tale risultato nella disuguaglianza ottenuta con Cauchy-Schwarz il teorema risulta dimostrato.

Ü           Occorre sfruttare i 2 seguenti teoremi:

                a)            Una successione fondamentale è limitata

                b)            Una successione limitata a valori in  possiede sempre una sottosuccessione a_kn  convergente ad l.

                Dimostriamo la convergenza di a_n ossia che | a_n - l | £ e sfruttando il fatto che a_kn converge ad l, quindi           aggiungiamo e sottraiamo a_kn nel modulo ed applicando la disuguaglianza triangolare, si ottiene

                | a_n - l | £ | a_n - a_kn | + | a_kn - l | £ e .Il 2° membro è minore di e in quanto per ogni n ³ N₁ si avrà che

                | a_Kn - l | < e / 2 mentre per definizione di successione fondamentale è |a_n - a_m| < e / 2 per n, m ³ N₂ e ponendo

                m = k_n  si ha che |a_n - a_kn | < e / 2 per n > N ₂ .

Insieme compatto        

44) Sia K Í Âⁿ    allora K è compatto Û K è chiuso e limitato

Þ           K compatto implica che ogni successione a valori in K ha una sottosuccessione che tende ad x Î K pertanto K è     chiuso in quanto contiene i suoi punti di accumulazione. La limitatezza di K si dimostra per assurdo affermando        che se vi fosse una successione non limitata che tende a ¥, ogni sua sottosuccessione avrebbe limite ¥ e     pertanto non è vero che ogni sottosuccessione tende ad un elemento x Î K e quindi non ci troveremmo su di un    compatto.

Ü           *             K limitato implica che ogni successione a_K a valori in K sia limitata

                *             Ogni successione limitata possiede una sottosuccessione convergente ad un elemento lÎÂⁿ , tale                                 elemento l è punto di accumulazione per K e pertanto o è punto interno o è punto di frontiera, e                                 siccome K chiuso vuol dire che contiene sia i punti interni che i punti di frontiera, ne consegue che K  contiene anche l ed in definitiva abbiamo provato che K è compatto, ossia che ogni successione a valori in K ha una sottosuccessione che tende ad lÎK.