Teoremas en las funciones continuas
1) si una funcin f es continua en x0 X y f(x0) > 0 existe alrededor de 0 Ude x tales que f(x) > 0 para cada x U
2) es x0 a y el f(x0) B y si f l es continua en x0 y g es continuo en el f(x0) entonces que el gf compuesto de la funcin es continuo en x0
3) si una funcin es monotona en un intervalo entonces f que puede tuvo que ms infinito contable que los puntos de la discontinuidad, y estn solamente de 1 specie(o dismissable si se encuentran a los finales del intervalo).
Para un monotona de la funcin el lmite existe siempre
y coincide con el sup o los inf al segundos de los casos por lo tanto
si tenemos un punto x0 que tendrn que existir terminaron ambos los 
lmites y 
, si son iguales la funcin
son continuos mientras que si es vario la funcin introduce una
discontinuidad del salto.
Permanece demostrar que sabe a usted posible es el infinito contable que es que representan una totalidad que se pueda poner en biunivoca de la correspondencia con la totalidad , a tal necesidad que se observa que si consideramos sabe a usted mayor de 1/n con n son infinito contable para cada valor que demos a n y el siccome iguales l es contable alcanza alguno que totalmente tengamos un infinito contable de la discontinuidad de 1 especie o saltamos.
4) teorema del zeri:
Descripcin: Si una funcin continua definida en un intervalo [ a,b ] asume a sus valores no nulos del extremo y de la muestra opuesta, despus f admite por lo menos una y cero (a,b).
Suponiendo que f(a) < 0 mientras que el f(b) > 0 la demostracin de la existencia por lo menos un cero sucede con un procedimiento del dicotomico caracterizado de los pasos siguientes:
a) el punto medio individual c del intervalo los ejecuta
b) basado en el valor asumido de la funcin en c ejecuto uno de los pasos siguientes:
* f(c) = 0 he encontrado el cero. El algoritmo termin con el suceso.
* el f(c) < 0 que el punto medio los ejecuta se convierte en el nuevo borde izquierdo del intervalo a considerar.
* el f(c) > 0 que el punto medio los ejecuta se convierte en el nuevo borde experto del intervalo a considerar.
c) se vuelve al punto a).
De tal manera 2 se han creado las sucesiones, a {a n} de los bordes de la izquierda y {bn}de las derechas de los bordes, debe
ser demostrado que ambos convergen al mismo punto y y que en este
punto la funcin vale 0, { nen detalle} siendo un monotona de la sucesin y limitado converge a un
punto y mientras que {bn} converge al
mismo punto y en cunto es igual la distancia entre los
trminos n de la sucesin 
un ese los estiramientos
a 0 para n ® . Por otra parte el procedimiento de
la construccin de las sucesiones era tal que f{a n} 0 mientras que f{bn} 0 para n ® . Es solamente la
continuidad de la funcin a asegurar que los dos lmites para n ® deben ser iguales y por lo tanto
f(y) = 0 a nosotros.
5) si son 2 funciones continuas f y g definidos en el mismo intervalo [ a,b ] tales para las cuales al extremo experto f l es mayor de b mientras que al extremo izquierdo g l es mayor de f existen por lo menos una solucin y (a,b) del f(x) = del g(x) de la ecuacin.
El teorema del zeri se aplica al f(x) de la funcin continua - g(x).
6) una funcin continua en un intervalo, limitado no no necesariamente, asume todos los valores abarcados entre el sup y los inf. Anlogo puede ser dicho que la imagen de una funcin continua definida en un intervalo, es igual l un intervalo.
Para cada y abarcada entre el sup y los inf aplico el teorema del zeri al f(x) de la funcin - y en un intervalo elegido [ a,b ] de modo que la muestra de la funcin adentro a sea varia de la muestra de la funcin en b.
7) si una funcin f es continua e inversible en un intervalo f es de cerca monotona.
Se demuestra para la absurdidad suponiendo que la funcin no es de cerca monotona y aprovecharse de la continuidad se tiene xito adentro para demostrar que la funcin no es iniettiva y por lo tanto no es inversible, recordando que el monotonia apretado implica que si en el dominio x < entonces se tiene y < z en la imagen tiene el f(x) < el f(y) < f(z) mientras que para el iniettivit conviene que sin embargo el presi x, y, z tiene f(z) del f(y) del f(x). Si suponemos para la absurdidad que el f(y) l es mayor de los otros 2 valores, se observa que en el intervalo entre y y el correspondiente del punto al menor de edad entre el f(x) y el f(z) como ejemplo z (intervalo [ y,z ]) la funcin asume todos los valores abarcados entre los inf y el sup entre que por lo tanto tambin la funcin del f(x) por lo tanto l no es inettiva, esa confirmacin la validez del teorema.
8) si f l es una funcin continua e inversible entonces tambin el inverso es continuo en su dominio si:
a) el dominio de f es un intervalo
b) el dominio de f es una totalidad cerrada y limitada (acuerdo).
En vista del caso de un intervalo:
Si una funcin es continua e inversible en un intervalo
entonces para 51) la tal funcin es de cerca monotona por lo tanto tambin que la funcin inversa se debe
nonch del monotona definir de
cerca en un intervalo en cunto imagen de una funcin continua
en un intervalo. De la caracterstica de las funciones
montonas se deduce la funcin que yelegida 0 debe existir 
e 
terminada, affinch resulta continuo
estos 2 lmites debe ser igual sera de otra manera un salto, pero
si fuera la imagen de f -1
un salto entonces que es el dominio de f no
sera un intervalo contra la hiptesis del teorema.
9) si entonces tengo una funcin continua en un intervalo [ a,b ]:
a) f se limita adentro [ a,b ]
b) existe el mximo y el minuto encendido [ a,b ]
c) la imagen de f se abarca entre el mximo y el minuto.
El teorema se basa en 3 hiptesis que no se puedan debilitar que es f debe ser una funcin continua, limitado (que es racchiudibile adentro alrededor del origen) y definir en un intervalo cerrado.
10) si tengo una funcin continua definida en una K compacta
a) el f(K) de la imagen es tambin l compacto.
b) si entonces existe K "el minuto y el mximo de f en f(K).
a) la compacticidad del f(K) implica eso, tomado una
sucesin yK en f(K) que un
sottosuccessione y LK debe
existir que los estiramientos al f(K)de y 0 para k® ,
a tal puntera l pueden ser observados que tal sucesin yK es imagen de una sucesin xK en K para la cual, el ser K la
compacta, exista un sottosuccessione xLK que estire a x0 K
para k® . Es la continuidad del la de f en x0 que asegura a nosotros que 
por lo tanto su imagen, el sottosuccessione yLK , los estiramientos al f(x0) y el f(K) l es por lo tanto
compacta.
b) tan pronto como hayamos demostrado que el f(K) l es el acuerdo que es una totalidad cerrada y limitada. Del limitatezza se deduce para Bolzano-Weierstrass que deba existir los inf y el sup mientras que recordarla que una totalidad cerrada contiene tambin su frontera de ella deriva que el Sup es equivalente al mximo y los Inf son equivalentes al minuto.
11) si tengo una funcin continua e inversible en acuerdo entonces inverso es continuo en su f(K) del dominio.
Es necesario demostrar que una sucesin yK a los valores en el f(K) que estira al f(K)de y (y l se debe picar no aislada en cunto si est aislada la inversa es continua en y para la misma definicin de la continuidad en un punto) tiene como sucesin x K de la imagenuna a la cual converja x = f -1(y). Uno supone para la absurdidad que xK no estira a f -1(y) que sea que existe su sottosuccessione x LKuno que no converja a f -1(y) (se recuerda que que tenga una sucesin cada lmite l > su sottosuccessione tiene lmite l), de esto por encontrar a nosotros en compacta se puede extraer un sottosuccessione xJK que converja a x K. La continuidad de f en x asegura a nosotros que la imagen de la sucesin xJK estira al f(x) y es el siccome el lmite solamente entonces x = f -1(y). A este punto se tiene que el sottosuccessione converge a f -1(y) que es por lo tanto el irse imposible de la hiptesis absurda que xK no estira a f -1(y) se alcanza la absurdidad que una su sottosuccessione en lugar de otro estira a f -1(y) que es imposible ya que los valores del sottosuccessione se extraen de la sucesin principal.
12) teorema de Heine - cantor
Descripcin: una funcin continua en compacta es tambin uniforme continuo.
Se procede para la absurdidad que niega que la funcin es continua uniforme que es existe y por lo menos0 > tal 0 tales que para cada d > 0 es 2 puntosx d yy d que ellos a ser distantes en medio de ellos menos que d pero sus imgenes a ser distantes en medio de ellas ms que y0. Dando a d de los valores 1, se obtiene el 1/2..., las sucesiones 1/k 2 xK y yK constituy de los puntos que niegan la continuidad uniforme de la funcin. El encontrar a nosotros pero en una una PU compacta a extraer del sottosuccessionex LK de x Kuna que converge a un elemento x. De resto pero tambin yLK converge a x para el kilolitro ® en cunto la respetan los elementos kilolitro del sottosuccessioni 2 a ser distante en medio de ellos el dato de menosde 1 kilolitros a que ambos el estiramiento del sottosuccessioni a x, y para la continuidad de f, siguen que la distancia entre los 2 estiramientos del sottosuccessioni a cero por el contrario de cunto antes de afirmado, yndose por lo tanto da tarea que la f no es alcances continuos uniformes la absurdidad que el sottosuccessione respeta la continuidad uniforme mientras que la sucesin de la cual se extrae no.
13-a) Si f y g ellos son 2 funciones continuas uniformes entonces tambin f ± g y * f, son funciones continuas uniformes.
Para el producto en lugar de otro no es verdad.
13-b) Si g l es una funcin continua uniforme en X y f es una funcin continua uniforme en fg del g(X) entonces tambin es una funcin continua uniforme en X.
La definicin de la continuidad uniforme del gf se basa en el hecho de que la distancia entre las imgenes de 2 puntos x y y que pertenecen a X es ms pequea de y y la distancia entre el g(x) y el g(y) es ms pequea de dla 1 funcin de y que respeta la definicin de la continuidad uniforme de f, y por otra parte la distancia entre x y y es ms pequea de dlos 2 que es funcin de del 1 de el cual repito soy funcin y.
14) si existe f y un uniforme de la funcin contina en X f es estendibile con la continuidad
R-alla.chiusura de X, una funcin 
que sea eso es
la extensin de f R-alla.chiusura de X a el cual est 
.
La definicin de la continuidad uniforme implica la
existencia de un lmite terminado y por lo tanto no tiene que hacer otro que substituir para terminar x0 en la f que no se define el
lmite de la f para x ® x0 .
15) si una funcin f es continua uniforme en X l est tambin en cada sottoinsieme de X
16) si X es uno con entonces limitado
la funcin f es continua uniforme > f es estendibile con continuidad
a .
se demuestra ya al punto 58)
Es continuo uniforme en cunto
continuo en el acuerdo que para 59) l implica es uniforme eso contina tambin en X y ya que en X coincide con f, sigue que f l es uniforme
continuo.
17) si f l es continua uniforme en X entonces f se limita en cada sottoinsieme limitado de X.
La funcin f es continua uniforme tambin en cada
sottoinsieme de X, y por lo tanto R-alla.chiusura de a puede ser
extendido con la continuidad que est 
en cul
pero se limita en cunto para
una funcin continua en compacta existe el mximo y el minuto, y por lo tanto puesto que encendido
coincide con f de ella alcanza que f l es limitada encendido a.
18) si f l es continua uniforme en X y el intervalo [ b ) X despus existe a, tal B 0 eso |f(x)| Hacha B para cada x b.
Para el simmetria l es suficiente demostrar que existen tales A,B 0 ese f(x) cada hacha B para x b.
Siendo el uniforme de la funcin continua, colocando y = 1, se tiene que para cada apoyo x,y que sigue a un punto seguro b la desigualdad est verificada |f(x)-f(y)| < 1.
Substituir en esto en lugar de y el punto b y el disuguagliando con Cauchy-Schwarz que se tiene que al final del intervalo, se est en el punto b d, l es el f(b d) 1 |f(b)|.
Si en lugar de otro se substituye a y el punto b d y disuguaglia del silicio con Cauchy-Schwarz que tiene eso al final de 2 el intervalo, se est en el punto b 2d, l es el f(b 2d) 2 |f(b)| .
Continuando y ensamblando juntos los valores de la funcin a los finales de estos intervalos se obtiene recto que de b en entonces todo se encuentra sobre la funcin.
19) en el caso que f es una funcin continua encendido con entonces el affinch ilimitado es tambin necesidad continua uniforme que continuo uniforme en cada sottoinsieme sea limitado de X y que se debe verificar una de las 3 condiciones de siguiente.
a) X se limita inferiorly (advancedly) y f tiene una asntota horizontal u oblicua para x® .
b) X se limita inferiorly (advancedly) y existe un tal R que en (R ) f sea lipschitziana.
c) f es peridica en X.
donde para inferiorly limitado conviene que con de la definicin de la funcin no abarca -.