Umgewandelt von Laplace
1) umgewandelt vom unilatera Laplace :
Es ist umgewandelt von Laplace der variablen Funktion
besagtes, die f(t) der realen t eins Umwandlung gegeben wird, dem vor
der Funktion f(t) eins F(p) Funktion des variablen definierten
komplizierten p vom Integral entsprechen 
.
2) Index des Grads von crescenza des Funktion f(t):
Es ist das minderwertige Ende der Werte von zu für, welches die Verschiedenheit Platz hat |f(t)| £ ichan .
3) entsteht es sie:
Das Funktion f(t) ist entsteht sie des T.d.L. F(p) besagt, unter der Bedingung daß respektieren Sie die 3 folgenden Bedingungen:
) f ist er am Ort sommabile, der es 
ist konvergent ist
B) f(t) = 0 für t<0
c) Besteht konstantes M>0 und s0? " so daß |f(t)| £ ichStr.
4) Zustand der Konvergenz des Integrals von Laplace:
Zu 
das Integral läuft im Herrschaft
König p > zu zusammen, wo der Index des Grads von crescenza des
Funktion f(t) ist ; , für außerdem jedes x0 > zu, läuft diese integrale Uniform im
dominio das König p ³ x0 > zu zusammen.
Sie wird p = iy x gehabt und vom Rest zu ihm ist der Index
des Grads von crescenza des Funktion f(t), das ist die Verschiedenheit
ist |f(t)| £ ich an der Dose ist folglich maggiorare das Integral mit einem
n°, das real ist und folglich ist das Integral, tatsächlich wenn
zu 1= zu und zum konvergent 
. In analogem Weise Se < kannx 0 < x die gleichmäßige Konvergenz des
Integrals angewendet werden dem Theorem von Weierstrass und
demonstriert werden.
5) entfernterer Zustand der Konvergenz des Integrals von Laplace:
F(t) wird es für jedes t ³ 0 definiert und besteht ein 0 Zahl complessop so,
daß das Integral 
jedes konvergente für p der Bedingung König p > 0 König
p zufriedenstellendist, welches das Integral konvergent ist.
Das absolute integrabilità von wird
gehabt, wenn es gefolgt wird, um insbesondere zu zeigen, 
daß es konvergent ist, König setzend wird p =P 0 q und für Teile 
integrierend gehabt, wo
und es 0 für t=0
wertIST, während für T®0 ¥
die Bezeichnung folglich 
einzigen
Remains das Integral des nach Ansicht zum Mitglied wertIST, das (T) <
K erhöht werden kann seiend das Integral von einem
exponentialem in, wieviel J.
6) umgewandelte ist von Laplace des Funktion f(t) ein Funktion analytics des variablen Komplexes p im Herrschaft König p > zu, wo zu ihm der Index des Grads von crescenza des Funktion f(t) ist.
7) Theorem von Omotetia:
Für jedes zu >
0 Konstante wird gehabt : 
8) entsteht Theorem der Ableitung von sie:
Wenn f ' (T), f ' ' (T)..., f(N)(T) ist entsteht es sie und 
allora 
e 
.
9) Theorem der Ableitung des Bildes:
Die Ableitung des Bildes wird auf der Vermehrung von
entsteht sie für - t verringert 
10) entsteht Theorem der Integration von sie:
Integration von entsteht sie wird verringert auf der
Abteilung des Bildes für p 
11) Theorem der Integration des Bildes:
Integration der Bildfluten von der Abteilung für t von
entsteht sie 
12) Theorem der Übersetzung in der Herrschaft von Laplace:
Die Vermehrung von entsteht sie für einen Komplex, der vom Platz zu einer Übersetzung des Bildes exponential ist.
13) verzögert Theorem von oder Übersetzung in der Herrschaft der Zeit:
Eine Übersetzung von entsteht sie vom Platz zur Vermehrung des Bildes für einen exponentialen Komplex.
14) Definition des Dreiecks von Dirac:
Das Dreieck von Dirac ist eine Funktion, die von den
folgenden 2 definiert wird : 
, fällt
es aus, die Ableitung des einheitlichen Schrittes zu sein, während es
sein umgewandelt wird, ist 1.
15) Theorem des convoluzione:
Das Produkt von 2 Funktionen, die Bilder umgewandelte des convoluzione von ihrem ist, entsteht sie
Dieses Theorem ist viel Profit in der Berechnung von antitransformed eine.
16) Theorem von Mellin :
Im Herrschaft König ist p > zum variablen regelmäßigen
Funktion manchmal f(t) des realen t mit Grad crescenza
zum x F(p), das von einem > a
umgewandelt wird.
Zu die Funktion wird 
definiert und
es wird demonstriert, daß für®b ¥ es zusammenläuft zum f(t) insbesondere, das in
ersetzt ihm und Nutzen aus der
gleichmäßigen Konvergenz zu ziehen, die ein Pò von Sachen von einem
Integral zum geführt wird anderen, das 
p=a
folglich erreicht, ersetzend, ist 
hat, wo das letzte man das Integral von einem ist
exponentialem, behebend welches es zum esplicitare eine gekommen wird
Brust, die in esponenziali ausgedrückt ausgedrückt wird, hat 
folglich in, welchem pu² zum zu
ersetzen t = t x und des Integrals -vom ¥ zu erweitern ¥ zu diesem Punkt, der für Teile
integriert und das Theorem von Riemann verwendet, erreicht, daß das
Integral gerade zum f(t) ausdehnt.
17) antitransformed Bedingungen für das Bestehen von ein von Laplace:
Wir nehmen an, daß die F(p) Funktion von variablem p = das iy x die folgenden Bedingungen erfüllt :
) F(p) ist es analytics in der Re(p) Herrschaft > zu
B) F(p) ® 0 für |p| ® ¥ in der Herrschaft Re(p) > a im konstanten Weise Respekt zu arg p.
c) läuft das 
integrale x > a " Re(p) = x > zu zusammen
die F(p) Funktion für König p > a ist umgewandelte von definierte das variable Funktion f(t) des realen t vom Ausdruck
Das Integral in der üblichen Weise wird nur
zur Konvergenz desunsachgemäßen integralen
maggiorando demonstriert.